Problemita. ¿Cuál es el lugar geométrico de los extremos del segmentos A(1,2) y B(-4,-5)?
Recuerda que el lugar geométrico es una recta o una curva, entonces también es posible obtener su gráfica.
Pudes graficar usando algún software, en mi caso casi utilizo el geogebra, graphmatica o derive, hay otros, pero estos están en la página del colegio del cch.
Lugar Geométrico
domingo, 15 de septiembre de 2013
domingo, 25 de agosto de 2013
Demostración Indirecta
La demostración indirecta, está basada por reducción al absurdo.
El siguiente video te permitrirá entender en que consiste el proceso de la demostración.
http://www.youtube.com/watch?v=MV0EeXLdEg8
H M
El siguiente video te permitrirá entender en que consiste el proceso de la demostración.
http://www.youtube.com/watch?v=MV0EeXLdEg8
Acertijo (tomados del proyecto Salman Khan)
Supongamos que en la entrada de dos puertas y dos hombres, uno mentiroso (M) y otro honesto (H), ambas son muy sabias.
En una puerta hay un tesoro y en la otra una trampa.
Condición: Solo puedes hacer una pregunta a cada uno y piensa que ellos te responden, con base a su respuesta, decide que puerta eliges abrir.
Pensemos que las puertas están representadas de la siguiente manera:
Puerta Puerta
H M
¿Cuál sería tu pregunta?
¿Qué puerta tiene el tesoro?
miércoles, 28 de noviembre de 2012
jueves, 16 de septiembre de 2010
Variación D. P
Proporción: Si a/b=c/d entonces si sumamos a los numeradores, los denominadores se tiene una razón que nos permite igualar con cualquiera de las razones anteriores es decir:
(a+b)/b=(c+d)/d
Ejemplo. Si dos triángulos son semejantes entonces sus lados son proporcionales, y por la proporción de arriba se tiene que el cociente de sus perímetros es igual al cociente de la proporcionalidad de sus lados.
(a+b)/b=(c+d)/d
Ejemplo. Si dos triángulos son semejantes entonces sus lados son proporcionales, y por la proporción de arriba se tiene que el cociente de sus perímetros es igual al cociente de la proporcionalidad de sus lados.
Sistema de Ecuaciones Lineales de dos por dos por el Método de Suma.
MÉTODO DE SUMA ( O RESTA)
En este método los coeficientes de la incógnita que se va eliminar deben de ser iguales pero con signo contrario, a continuación se hace de manera muy explicita.
Ejemplo1: Encuentra la solución del siguiente sistema por el método de la suma.
3x +2y = 7.....................(1)
-2x -3y =-8.....................(2)
Solución: El objetivo de resolver el sistema es encontrar los valores de x e y, que satisfagan a ambas ecuaciones.
Paso (1): Eliminar x de ambas ecuaciones. Para ello se requiere que los coeficientes de x de ambas ecuaciones sean iguales pero de signos contrarios.
Paso (2). Multiplicar la ecuación (1) por 2, que es el coeficiente de x de la ecuación (2).
2 ( 3x +2y ) = 2 (7)...............(1) después de multiplicar la ecuación que se obtiene es:
6 x +4 y = 14.................(1 *) ambas son ecuaciones equivalentes.
Paso (3): Multiplicar la ecuación (2) por 3, que es el coeficiente de x de la ecuación (1).
3 ( -2x -3y ) = 3(-8 ).........(2) después de multiplicar la ecuación que se obtiene es
-6x –9y = -24................(2*). Ambas son ecuaciones equivalentes
Paso (4): Se suman las ecuaciones, equivalentes, se obtiene:
6 x +4 y = 14.................(1 *) Se eliminan los términos en x
+ -6x –9y = -24.................(2*).
Se ha eliminado los términos en x quedando la ecuación siguiente:
- 5 y = -10 despejar y
Paso (5): Se resuelve la ecuación.
-5 y = -10........................despejar y
Paso (6): Ahora sustituye el valor de y = 2 en la ecuación (1) o ecuación (2).
3x +2y = 7...........................(1)
3x +2 (2) = 7 despejar y
3x +4 = 7
3x = 7 –4
3x = 3
Indique que la solución del sistema por el método de suma es: x=1, y = 2.
En este método los coeficientes de la incógnita que se va eliminar deben de ser iguales pero con signo contrario, a continuación se hace de manera muy explicita.
Ejemplo1: Encuentra la solución del siguiente sistema por el método de la suma.
3x +2y = 7.....................(1)
-2x -3y =-8.....................(2)
Solución: El objetivo de resolver el sistema es encontrar los valores de x e y, que satisfagan a ambas ecuaciones.
Paso (1): Eliminar x de ambas ecuaciones. Para ello se requiere que los coeficientes de x de ambas ecuaciones sean iguales pero de signos contrarios.
Paso (2). Multiplicar la ecuación (1) por 2, que es el coeficiente de x de la ecuación (2).
2 ( 3x +2y ) = 2 (7)...............(1) después de multiplicar la ecuación que se obtiene es:
6 x +4 y = 14.................(1 *) ambas son ecuaciones equivalentes.
Paso (3): Multiplicar la ecuación (2) por 3, que es el coeficiente de x de la ecuación (1).
3 ( -2x -3y ) = 3(-8 ).........(2) después de multiplicar la ecuación que se obtiene es
-6x –9y = -24................(2*). Ambas son ecuaciones equivalentes
Paso (4): Se suman las ecuaciones, equivalentes, se obtiene:
6 x +4 y = 14.................(1 *) Se eliminan los términos en x
+ -6x –9y = -24.................(2*).
Se ha eliminado los términos en x quedando la ecuación siguiente:
- 5 y = -10 despejar y
Paso (5): Se resuelve la ecuación.
-5 y = -10........................despejar y
Paso (6): Ahora sustituye el valor de y = 2 en la ecuación (1) o ecuación (2).
3x +2y = 7...........................(1)
3x +2 (2) = 7 despejar y
3x +4 = 7
3x = 7 –4
3x = 3
Indique que la solución del sistema por el método de suma es: x=1, y = 2.
miércoles, 28 de octubre de 2009
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para comprender mejor el contenido de lo que es una ecuación de primer grado con una incónita es necesario tener presente los conocimientos previos, a continuación se propone actividades que debes de realizar.
Actividad 1. Analiza –detenidamente- cada una de las expresiones, y en tu cuaderno escríbelas y simbolízalas según lo que tú consideres conveniente:
1) la suma de p y q
2) seis veces w
3) 7 menos que x
4) siete octavos multiplicado por k
5) g disminuido por h
6) a dividido por 13
7) 8 sustraído de w
8) b incrementado en m
9) un quinto de 37
10) 13 menos que d
11) 16 más que h
12) d menos 15
13) un séptimo de a
14) la suma de a, b, y c
15) el producto de a y b
16) p disminuido en m
17) el producto de a, b y c
18) 27 más que t
19) e más 12
20) el quíntuplo de 7
21) la diferencia de m y n
22) w aumentado en a
Actividad 2. Escribe la simbolización que tú creas que es la conveniente:
1)Un cierto número es representado por x. ¿Cómo puede representarse a un número que es el doble de x? ___________
2)Un cierto número esta representado por y. ¿Cómo puede representarse a un número que es 8 unidades más grande que el doble de y? ___________
3)Un cierto número es representado por w. ¿Cómo puede representarse a un número que es 2 unidades menor que seis veces w? ___________
4)Si x representa un cierto número, ¿cómo puede representarse a un número que es 15 unidades mayor que el doble de x? ___________
5)Un número es 12 veces un segundo número. Si x representa el segundo número, ¿cómo puede representarse al primer número? ______________
6)Un número es 9 unidades mayor que tres veces otro número. Si y representa al menor número, ¿cómo puede representarse al número mayor? ______________
7)Un hombre tiene 4 dólares más que pesos. Si el número de pesos que tiene se representa por x, ¿cómo puede representarse al número de dólares? ___________
8)Un hombre tiene 8 veces más dólares que pesos. Si el número de pesos que tiene se representa por y, ¿cómo puede representarse al número de dólares? ___________
9)Pedro es 6 años mayor que Javier. Si la edad de Javier se representa por y, ¿
cómo se puede representar la edad de Pedro? ______________
10)Mónica tiene el doble de la edad de Laura. Si la edad de Laura se representa por w, ¿cómo representa la edad de Mónica? ______________
11)Rocío tiene 7 años menos que el doble de la edad de su hermana. Si la edad de la hermana se representa por n, ¿cómo puede representarse la edad de Rocío?_______
Actividad 3: Problemas que conducen a una ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo. Problema: De la estación Pantitlán del Metro, venía cierta cantidad de personas en uno de sus vagones, en la estación Agrícola Oriental se subieron 13 personas y se bajaron 21, en la estación San Juan se subieron 11 personas y se bajaron 34. Si el doble de las personas que estaban a bordo en la estación Agrícola Oriental es igual al triple de las personas que estaban a bordo en la estación San Juan, ¿cuál es el número de personas que venían a bordo en la estación Pantitlán?
Solución.
Si en la estación del metro Pantitlán subieron ciertas personas, entonces supongamos que estas las denotamos con la letra:
x Personas en el metro Pantitlán
Como en la estación Agrícola se subieron 13 y se bajaron 21 entonces en ese momento se tiene: x +13 – 21 es decir:
x – 8 Personas en Agrícola
Número de personas que contiene el metro de la estación Agrícola
Y en la estación San Juan subieron 11 y se bajaron 34 entonces en ese momento
se tiene: (x-8) +11-34 es decir;
x -31 Personas en San Juan
Y por la condición de que: el doble de las personas que estaban a bordo en la estación Agrícola Oriental es igual al triple de las personas que estaban a bordo en la estación San Juan, se tiene que:
2 (x-8) = 3 (x-31) modelo o expresión algebraica, encontremos x.
2 x - 16 = 3 x – 93 observa que: el 2 multiplica a cada termino del
paréntesis que se encuentra del lado izquierdo,
de la misma forma se simplifico lo del lado derecho.
2x – 3x = -93 +16 se agrupan términos en x en el lado izquierdo, y
los otros terminos del lado derecho, pasando con su
operación contraria.
-1 x = -77 Por último se multiplicamos por -1, a toda la
ecuación.
x = 77 Que son los que se subieron en Pantitlán.
Así que los que quedaron en la agrícola son 69.
y los que quedaron en San Juan son 46.
Actividad 4: Resuelve los siguientes problemas.
1)Se hizo la recolección de la cosecha de naranjas y al transportarlas en un camión se aplastaron 368, además al descargarlas en la bodega se aplastaron otras 614. ¿Cuál es el número de naranjas de la cosecha si 1/16 de las que se “salvaron” del transporte del camión equivalen a los 1/15 de los que se “salvaron” en la bodega?
2)En la primera partida de póker perdí $780 y en la segunda gané $245, ¿cuánto dinero tenía si los 2/3 de lo que me quedo en la primera partida es igual a 1/4 de que tenía en la segunda?
3)Determinar las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 78m. y su largo es 9m. mayor que su ancho.
4)Al sumar tres números consecutivos se obtiene 372, determinar los número.
5)Un segmento de recta es el cuádruplo de otro segmento. Si se restan 4cm. al mayor y se agregan 20cm. al menor, ambos segmentos son iguales. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los segmentos?
6)Emilio es cinco años mayor que Alejandro. Hace dos años, el producto de sus edades era 30 unidades menor que el producto actual. Hallar ambas edades.
Actividad 1. Analiza –detenidamente- cada una de las expresiones, y en tu cuaderno escríbelas y simbolízalas según lo que tú consideres conveniente:
1) la suma de p y q
2) seis veces w
3) 7 menos que x
4) siete octavos multiplicado por k
5) g disminuido por h
6) a dividido por 13
7) 8 sustraído de w
8) b incrementado en m
9) un quinto de 37
10) 13 menos que d
11) 16 más que h
12) d menos 15
13) un séptimo de a
14) la suma de a, b, y c
15) el producto de a y b
16) p disminuido en m
17) el producto de a, b y c
18) 27 más que t
19) e más 12
20) el quíntuplo de 7
21) la diferencia de m y n
22) w aumentado en a
Actividad 2. Escribe la simbolización que tú creas que es la conveniente:
1)Un cierto número es representado por x. ¿Cómo puede representarse a un número que es el doble de x? ___________
2)Un cierto número esta representado por y. ¿Cómo puede representarse a un número que es 8 unidades más grande que el doble de y? ___________
3)Un cierto número es representado por w. ¿Cómo puede representarse a un número que es 2 unidades menor que seis veces w? ___________
4)Si x representa un cierto número, ¿cómo puede representarse a un número que es 15 unidades mayor que el doble de x? ___________
5)Un número es 12 veces un segundo número. Si x representa el segundo número, ¿cómo puede representarse al primer número? ______________
6)Un número es 9 unidades mayor que tres veces otro número. Si y representa al menor número, ¿cómo puede representarse al número mayor? ______________
7)Un hombre tiene 4 dólares más que pesos. Si el número de pesos que tiene se representa por x, ¿cómo puede representarse al número de dólares? ___________
8)Un hombre tiene 8 veces más dólares que pesos. Si el número de pesos que tiene se representa por y, ¿cómo puede representarse al número de dólares? ___________
9)Pedro es 6 años mayor que Javier. Si la edad de Javier se representa por y, ¿
cómo se puede representar la edad de Pedro? ______________
10)Mónica tiene el doble de la edad de Laura. Si la edad de Laura se representa por w, ¿cómo representa la edad de Mónica? ______________
11)Rocío tiene 7 años menos que el doble de la edad de su hermana. Si la edad de la hermana se representa por n, ¿cómo puede representarse la edad de Rocío?_______
Actividad 3: Problemas que conducen a una ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo. Problema: De la estación Pantitlán del Metro, venía cierta cantidad de personas en uno de sus vagones, en la estación Agrícola Oriental se subieron 13 personas y se bajaron 21, en la estación San Juan se subieron 11 personas y se bajaron 34. Si el doble de las personas que estaban a bordo en la estación Agrícola Oriental es igual al triple de las personas que estaban a bordo en la estación San Juan, ¿cuál es el número de personas que venían a bordo en la estación Pantitlán?
Solución.
Si en la estación del metro Pantitlán subieron ciertas personas, entonces supongamos que estas las denotamos con la letra:
x Personas en el metro Pantitlán
Como en la estación Agrícola se subieron 13 y se bajaron 21 entonces en ese momento se tiene: x +13 – 21 es decir:
x – 8 Personas en Agrícola
Número de personas que contiene el metro de la estación Agrícola
Y en la estación San Juan subieron 11 y se bajaron 34 entonces en ese momento
se tiene: (x-8) +11-34 es decir;
x -31 Personas en San Juan
Y por la condición de que: el doble de las personas que estaban a bordo en la estación Agrícola Oriental es igual al triple de las personas que estaban a bordo en la estación San Juan, se tiene que:
2 (x-8) = 3 (x-31) modelo o expresión algebraica, encontremos x.
2 x - 16 = 3 x – 93 observa que: el 2 multiplica a cada termino del
paréntesis que se encuentra del lado izquierdo,
de la misma forma se simplifico lo del lado derecho.
2x – 3x = -93 +16 se agrupan términos en x en el lado izquierdo, y
los otros terminos del lado derecho, pasando con su
operación contraria.
-1 x = -77 Por último se multiplicamos por -1, a toda la
ecuación.
x = 77 Que son los que se subieron en Pantitlán.
Así que los que quedaron en la agrícola son 69.
y los que quedaron en San Juan son 46.
Actividad 4: Resuelve los siguientes problemas.
1)Se hizo la recolección de la cosecha de naranjas y al transportarlas en un camión se aplastaron 368, además al descargarlas en la bodega se aplastaron otras 614. ¿Cuál es el número de naranjas de la cosecha si 1/16 de las que se “salvaron” del transporte del camión equivalen a los 1/15 de los que se “salvaron” en la bodega?
2)En la primera partida de póker perdí $780 y en la segunda gané $245, ¿cuánto dinero tenía si los 2/3 de lo que me quedo en la primera partida es igual a 1/4 de que tenía en la segunda?
3)Determinar las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 78m. y su largo es 9m. mayor que su ancho.
4)Al sumar tres números consecutivos se obtiene 372, determinar los número.
5)Un segmento de recta es el cuádruplo de otro segmento. Si se restan 4cm. al mayor y se agregan 20cm. al menor, ambos segmentos son iguales. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los segmentos?
6)Emilio es cinco años mayor que Alejandro. Hace dos años, el producto de sus edades era 30 unidades menor que el producto actual. Hallar ambas edades.
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