Esfera

Arquímedes llegó a que el volumen de la esfera es 2/3 del cilindro o bien es 4/3 pin radio al cubo.
Dar clic en la siguiente palabra, que es un link, para ver un video acerca del volumen de la esfera.
 Esfera

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Al dar clic en el enlace anterior te proporciona una demostración geométrica del Teorema de Pitágoras, otra demostración a partir de la anterior pero más formal, algebraicamente y geométricamente, es la siguiente.

Demostración del Teorema de Pitágoras

El recíproco del teorema de Pitágoras: Si en todo triángulo el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Euler

La recta Euler, pasa por el ortocentro (alturas), circuncentro (mediatrices)  y el baricentro (medianas).


 

En los poliedros el número de caras más el numero de vértices es igual aristas más 2, es decir,

                                                         C + V = A +2

La Elipse

La Elipse es el lugar geométrico de todos los punto M(x,y), tales de la suma de las distancias a los focos es una constante 2a, es decir: MF1 + MF2 = 2a.

Problema Sea P(x,y) un punto, y A( 2,3) y B(4,-5) dos puntos fijos, si el producto de las pendientes de P con A y de P con B es una constante igual a -4, demustra que se trata de una elipsey encuentra sus elementos ( gráfica, focos y la longitud de los lados rectos).

 
El siguiente video muestra una aplicación de la Elipse con la segunda ley de Kepler

Video últimoTeorema de Fermat

Geometría Analítica
Circunferencia.

Ejemplo. Encontrar la ecuación de la circunferncia que pasa por los puntos A (3, 3) y B (-3,3), y su centro esta sobre la recta -3x + y = -2.

Sugerencia realiza una gráfica de los elementos proporcionados.
Supongamos que el centro es C(x,y).
Calcular la distancia del centro al punto A y del centro al punto B, estas distancias son iguales por ser radio, es decir:
                                                           CA=CP
de lo cual tenemos x=0

la derivada
 ver el siguiente video

Problemita. ¿Cuál es el lugar geométrico de los extremos del segmentos A(1,2) y B(-4,-5)?
Recuerda que el lugar geométrico es una recta o una curva, entonces también es posible obtener su gráfica.
Pudes graficar usando algún software, en mi caso casi utilizo el geogebra, graphmatica o derive, hay otros, pero estos están en la página del colegio del cch.

Lugar Geométrico

Demostración Indirecta

La demostración indirecta, está basada por reducción al absurdo.
El siguiente video te permitrirá entender en que consiste el proceso de la demostración.

http://www.youtube.com/watch?v=MV0EeXLdEg8

Acertijo  (tomados del proyecto Salman  Khan)

Supongamos que en la entrada de dos puertas y dos hombres, uno mentiroso (M) y otro honesto (H), ambas son muy sabias.

En una puerta hay un tesoro y en la otra una trampa.

Condición: Solo puedes hacer una pregunta a cada uno y piensa que ellos te responden, con base a su respuesta, decide que puerta eliges abrir. 

Pensemos que las puertas están representadas de la siguiente manera:

           Puerta       Puerta

              H               M

¿Cuál sería tu pregunta? 

¿Qué puerta tiene el tesoro? 

 

Universo Matemático

Gauss El Principe de las Matemáticas

variación

Variación D. P

Proporción: Si a/b=c/d entonces si sumamos a los numeradores, los denominadores se tiene una razón que nos permite igualar con cualquiera de las razones anteriores es decir:

(a+b)/b=(c+d)/d

Ejemplo.  Si dos triángulos son semejantes entonces sus lados son proporcionales, y por la proporción de arriba se tiene que el cociente de sus perímetros es igual al cociente de la proporcionalidad de sus lados.

Sistema de Ecuaciones Lineales de dos por dos por el Método de Suma.

MÉTODO DE SUMA ( O RESTA)
En este método los coeficientes de la incógnita que se va eliminar deben de ser iguales pero con signo contrario, a continuación se hace de manera muy explicita.

Ejemplo1: Encuentra la solución del siguiente sistema por el método de la suma.

3x +2y = 7.....................(1)
-2x -3y =-8.....................(2)

Solución: El objetivo de resolver el sistema es encontrar los valores de x e y, que satisfagan a ambas ecuaciones.

Paso (1): Eliminar x de ambas ecuaciones. Para ello se requiere que los coeficientes de x de ambas ecuaciones sean iguales pero de signos contrarios.
Paso (2). Multiplicar la ecuación (1) por 2, que es el coeficiente de x de la ecuación (2).

2 ( 3x +2y ) = 2 (7)...............(1) después de multiplicar la ecuación que se obtiene es:
6 x +4 y = 14.................(1 *) ambas son ecuaciones equivalentes.

Paso (3): Multiplicar la ecuación (2) por 3, que es el coeficiente de x de la ecuación (1).

3 ( -2x -3y ) = 3(-8 ).........(2) después de multiplicar la ecuación que se obtiene es
-6x –9y = -24................(2*). Ambas son ecuaciones equivalentes

Paso (4): Se suman las ecuaciones, equivalentes, se obtiene:
6 x +4 y = 14.................(1 *) Se eliminan los términos en x
+ -6x –9y = -24.................(2*).

Se ha eliminado los términos en x quedando la ecuación siguiente:

- 5 y = -10 despejar y

Paso (5): Se resuelve la ecuación.

-5 y = -10........................despejar y

Paso (6): Ahora sustituye el valor de y = 2 en la ecuación (1) o ecuación (2).

3x +2y = 7...........................(1)
3x +2 (2) = 7 despejar y
3x +4 = 7
3x = 7 –4
3x = 3

Indique que la solución del sistema por el método de suma es: x=1, y = 2.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para comprender mejor el contenido de lo que es una ecuación de primer grado con una incónita es necesario tener presente los conocimientos previos, a continuación se propone actividades que debes de realizar.

Actividad 1. Analiza –detenidamente- cada una de las expresiones, y en tu cuaderno escríbelas y simbolízalas según lo que tú consideres conveniente:

1) la suma de p y q
2) seis veces w
3) 7 menos que x
4) siete octavos multiplicado por k
5) g disminuido por h
6) a dividido por 13
7) 8 sustraído de w
8) b incrementado en m
9) un quinto de 37
10) 13 menos que d
11) 16 más que h
12) d menos 15
13) un séptimo de a
14) la suma de a, b, y c
15) el producto de a y b
16) p disminuido en m
17) el producto de a, b y c
18) 27 más que t
19) e más 12
20) el quíntuplo de 7
21) la diferencia de m y n
22) w aumentado en a



Actividad 2. Escribe la simbolización que tú creas que es la conveniente:

1)Un cierto número es representado por x. ¿Cómo puede representarse a un número que es el doble de x? ___________

2)Un cierto número esta representado por y. ¿Cómo puede representarse a un número que es 8 unidades más grande que el doble de y? ___________

3)Un cierto número es representado por w. ¿Cómo puede representarse a un número que es 2 unidades menor que seis veces w? ___________

4)Si x representa un cierto número, ¿cómo puede representarse a un número que es 15 unidades mayor que el doble de x? ___________

5)Un número es 12 veces un segundo número. Si x representa el segundo número, ¿cómo puede representarse al primer número? ______________

6)Un número es 9 unidades mayor que tres veces otro número. Si y representa al menor número, ¿cómo puede representarse al número mayor? ______________

7)Un hombre tiene 4 dólares más que pesos. Si el número de pesos que tiene se representa por x, ¿cómo puede representarse al número de dólares? ___________

8)Un hombre tiene 8 veces más dólares que pesos. Si el número de pesos que tiene se representa por y, ¿cómo puede representarse al número de dólares? ___________

9)Pedro es 6 años mayor que Javier. Si la edad de Javier se representa por y, ¿
cómo se puede representar la edad de Pedro? ______________

10)Mónica tiene el doble de la edad de Laura. Si la edad de Laura se representa por w, ¿cómo representa la edad de Mónica? ______________

11)Rocío tiene 7 años menos que el doble de la edad de su hermana. Si la edad de la hermana se representa por n, ¿cómo puede representarse la edad de Rocío?_______


Actividad 3: Problemas que conducen a una ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo. Problema: De la estación Pantitlán del Metro, venía cierta cantidad de personas en uno de sus vagones, en la estación Agrícola Oriental se subieron 13 personas y se bajaron 21, en la estación San Juan se subieron 11 personas y se bajaron 34. Si el doble de las personas que estaban a bordo en la estación Agrícola Oriental es igual al triple de las personas que estaban a bordo en la estación San Juan, ¿cuál es el número de personas que venían a bordo en la estación Pantitlán?

Solución.
Si en la estación del metro Pantitlán subieron ciertas personas, entonces supongamos que estas las denotamos con la letra:
x Personas en el metro Pantitlán

Como en la estación Agrícola se subieron 13 y se bajaron 21 entonces en ese momento se tiene: x +13 – 21 es decir:

x – 8 Personas en Agrícola
Número de personas que contiene el metro de la estación Agrícola

Y en la estación San Juan subieron 11 y se bajaron 34 entonces en ese momento
se tiene: (x-8) +11-34 es decir;

x -31 Personas en San Juan

Y por la condición de que: el doble de las personas que estaban a bordo en la estación Agrícola Oriental es igual al triple de las personas que estaban a bordo en la estación San Juan, se tiene que:

2 (x-8) = 3 (x-31) modelo o expresión algebraica, encontremos x.
2 x - 16 = 3 x – 93 observa que: el 2 multiplica a cada termino del
paréntesis que se encuentra del lado izquierdo,
de la misma forma se simplifico lo del lado derecho.
2x – 3x = -93 +16 se agrupan términos en x en el lado izquierdo, y
los otros terminos del lado derecho, pasando con su
operación contraria.
-1 x = -77 Por último se multiplicamos por -1, a toda la
ecuación.

x = 77 Que son los que se subieron en Pantitlán.
Así que los que quedaron en la agrícola son 69.
y los que quedaron en San Juan son 46.

Actividad 4: Resuelve los siguientes problemas.

1)Se hizo la recolección de la cosecha de naranjas y al transportarlas en un camión se aplastaron 368, además al descargarlas en la bodega se aplastaron otras 614. ¿Cuál es el número de naranjas de la cosecha si 1/16 de las que se “salvaron” del transporte del camión equivalen a los 1/15 de los que se “salvaron” en la bodega?

2)En la primera partida de póker perdí $780 y en la segunda gané $245, ¿cuánto dinero tenía si los 2/3 de lo que me quedo en la primera partida es igual a 1/4 de que tenía en la segunda?

3)Determinar las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 78m. y su largo es 9m. mayor que su ancho.

4)Al sumar tres números consecutivos se obtiene 372, determinar los número.

5)Un segmento de recta es el cuádruplo de otro segmento. Si se restan 4cm. al mayor y se agregan 20cm. al menor, ambos segmentos son iguales. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los segmentos?

6)Emilio es cinco años mayor que Alejandro. Hace dos años, el producto de sus edades era 30 unidades menor que el producto actual. Hallar ambas edades.

Homotecia y semejanza

ACTIVIDADES DE HOMOTECIA Y SEMEJANZA

Halla, en cada caso, la razón de la homotecia que transforma P en P':
Sean A=(0,2); B=(2,1) y C(1,4) tres puntos del plano. Halla las coordenadas del triángulo homólogo de ABC mediante la homotecia:
· de centro (4,4) y razón -2,
· de centro (1,3) y razón 3.
¿Cuál es el centro y la razón de la homotecia que transforma el anterior triángulo
en el A'B'C'; con A'=(1,1); B'=(5,-1) y C'=(5,6)?
Abajo a la izquierda está el cuadro "adición" del afamado pintor abstracto Antonio Tapia.
Un aficionado, que visitó el museo donde se expone, realizó una copia y olvidó pintar el signo +.
¿Sabrías ayudarle a pintarlo en su lugar exacto?
Construye una figura semejante que ocupe un área cuatro veces mayor y que esté girada 90º respecto de la que se muestra.
El primer dibujo representa a un dinosaurio y está a escala 1:200. Averigua a qué escala está representado en el segundo dibujo y halla su altura real.




En un plano a escala 1:100 un dormitorio cuadrado ocupa un área de 16 cm2. ¿Como son sus dimensiones reales?
Un entrenador de baloncesto dispone de una pizarra de 35 cm por 50 cm para dibujar la posición de sus jugadores en la zona. Pregunta en el Departamento de Educación Física las dimensiones del campo e indica con que escala se puede realizar una representación razonable.
Unos observadores, con la ayuda de aparatos de medición, comprueban desde la costa las siguientes medidas: OA=15 m, OB=3 m y OC=80 m.

Calcula la distancia del velero a la playa.
Hallar las dimensiones de los triángulos de la figura.
Se desea prolongar el alero de un tejado para construir un porche que cubra 370 cm desde la pared. Hallar la longitud de la prolongación.
El rectángulo ABCD, de 210 cm de altura representa la parte habitable del desván. Si la casa tiene un ancho de 10 m, ¿Qué altura habrá de tener el tejado para conseguir que AD sea de 5'5 m?







Se desea construir un canal semejante al de la figura, de forma que admita una cantidad de agua 9 veces superior.
¿Qué dimensiones habrá de tener?
Las superficies de dos calderas semejantes son 80 y 93 m2, Calcula el volumen de la primera sabiendo que la segunda tiene un volumen de 3400 m3. Nota: la relación entre el volumen de dos cuerpos semejantes es el cubo de la razón de semejanza.
Se midió un terreno con una cinta métrica trucada de 50 m, dando un área de 90 Ha. Posteriormente, el comprador comprueba que la medida real de la cinta era de 49 m. ¿Será necesario volver a medir el terreno?. Si el precio de la Ha era de 400000 ptas, ¿en cuánto se pretendía engañar al comprador?
Un depósito esférico tiene un volumen 10 veces mayor que otro. ¿Cuántas veces es mayor su superficie?
Hallar a.
Demuestra que los tres triángulos rectángulos son semejantes. Basándote en ello, demuestra que h2=m·n (Como recordarás este resultado se conoce como teorema de la altura). Intenta demostrar que a2 = n · c y que b2 = m · c (que eran los teoremas del cateto)
Demuestra que BNC es semejante a NMB y, basándote en ello, calcula las dimensiones del último triángulo. Aplica el teorema del cateto en ANB y el teorema de Pitágoras en ABC para las dimensiones de éste.




Reordenando los pedazos de la figura se puede construir un cuadrado. Calcula su perímetro.

Halla la longitud de los segmentos MP y PN.
Demuestra que los triángulos ACB y BMN son semejantes y calcula el área del cuadrilátero AMNC.
Expresa las dimensiones y el área del triángulo ABC en función de x.
Expresa el perímetro y el área del rectángulo en función de x.
Calcula x de manera que divida al triángulo en dos piezas de igual área.

Los extremos de dos palillos, de 20 y 50 cm respectivamente, están unidos por sendos hilos y se disponen de la manera que indica el dibujo:
Calcular la altura a la que se encuentran los hilos. Si los hilos fuesen gomas y se saparasen aún más los palillos, ¿variaría la altura a la que se cruzarían las gomas?
Sabiendo que las figuras A, B y C son semejantes:
¿Cuánto valen A/C y B/C?
Demuestra que la suma de las áreas de las dos primeras coincide con el área de la tercera.

Lenguaje algebraico

Hypatía de Alexandría nace nesa cidade ao redor do ano 360 e morre en marzo do ano 415. Da súa nai non existen datos, pero o seu pai foi Theón de Alexandría , grande matemático, astrónomo e filósofo que traballaba na Libroteca e que, dun xeito planificado educou a súa filla polo camiño do coñecemento científico. Hypatía foi primeiro estudante da Libroteca e despois profesora de matemáticas, astronomía e filosofía, colaborando estreitamente nos traballos de investigación do seu pai. Escribiu libros para estudantes baseados en autores clásicos; por exemplo: sobre a "Aritmética" de Diofanto (matemático grego do século III) que contiña exercicios prácticos e métodos de resolucións de ecuación; un libro "Sobre a xeometría das cónicas de Apolonio" (Apolonio de Pérgamo, xeómetra grego do século III a.n.e.) que trataba sobre as figuras xeométricas que se forman ao cortar un cono por un plano (circunferencia, elipse, parábola e hipérbole). Co seu pai revisou e mellorou os "Elementos de xeometría" de Euclides (século III a.n.e.), sendo esta a versión que usamos na actualidade. Tamén traballou sobre o libro "Mathematiké sýntaxis", máis coñecido como "Almaxesto" (do árabe al-mayiste; "o grande", "o maior"), síntese do saber astronómico da época do seu autor o matemático, astrónomo e xeógrafo Claudio Ptolomeo (aprox 90-168). Ademais deseñou varios instrumentos científicos como un aparello para a destilación (kerotakis; alambique), astrolabios usados para medidas astronómicas (posición de estrelas e planetas). Participou activamente na vida pública de Alexandría loitando contra a durísima represión levada a cabo pola clase dominante. A casa familiar transformouse nun grande centro de discusión sobre matemáticas, física, astronomía, medicina, filosofía, política, .... e Hypatía tiña grande prestixio entre a poboación da cidade. Era unha persoa, usando unha palabra suave, moi molesta para a clase dominante.

La ida fundamental es que en el àlgebra se utilizan letras minusculas del abecedario y con ellas representaremos números cualesquiera, ello nos permitira resolver problemas de una forma más rápida y precisa, para cualquier tipo de problemas de cualquier nivel.

Diofanto fue el primer matemático que utilizo el álgebra en la resolución de problemas, las soluciones que encontraba fue para números enteros, esto fue por la época en que vivió.

Ejercicios de expresiones algebraicas

Recuerda que:En un termino identificamos al coeficiente numérico, usualmente,este se encuentra del lado derecho del termino, ademas tiene una potencia ,en la cual tiene una base y un exponente.

Ejemplos de Binomios.

1. (x - y)^3 = x^3 - 3x^2(y) + 3 xy^2 - y^3

2. (x+a)^2= x^(2 )+ 2x a+ a^2
3. (x+3)^2= x^(2 )+ 2x (3)+ (3)^2= x^(2 )+ 6x + 9

EXPRESA LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS ALGEBRAICAMENTE

1. Expresa algebraicamente: Un número número par ___________________________

2.Expresa algebraicamente: Un número impar ________________________________

3. Expresa algebraicamente: La suma de los cuadrados de dos números_______________

Terminologia

Un término es un número o un producto de dos o más números

Ejemplo de terminos

1) 3xy
2) 5x^2 este termino es 5 multiplicado por el cuadrado de x o bien x al cuadrado.
3) -3xzy
4) (3/4) x^3y^5